Решение заданий с дробями (основы)

Действия с дробями. Задания ОГЭ

Прежде чем приступать к решению заданий с дробями, необходимо разобраться, что же такое дробь. Это можно сделать, прочитав статью “Как понимать дроби”. Будем надеяться, что с этим Вы уже разобрались. Теперь разберемся с основными действиями над дробями. Поехали.

№1 Сложение и вычитание дробей

В этом типе заданий могут встречаться как обыкновенные дроби, так и десятичные, а еще Вы можете встретить в одном примере сразу и такие, и такие.

Рассмотрим сложение обыкновенных дробей:  \frac{14}{25} + \frac{3}{2}

  • Первым делом необходимо найти общий знаменатель этих двух дробей, для этого нужно перемножить знаменатели те что снизу между собой (25 и 2). То есть, общий знаменатель равен 50.
  • Затем нужно умножить числитель первой дроби на знаменатель второй дроби (14•2), а числитель второй дроби умножить на знаменатель первой дроби (3•25). Получается крест-накрест.
  • Теперь запишем общую дробь:  \frac{14\cdot 2 + 3\cdot 25}{25\cdot 2}
  • Осталось выполнить умножение и сложение:  \frac{28 + 75}{50} = \frac{103}{50}
  • В таком виде ответ не получится написать в бланк, нужно привести полученную дробь к десятичному виду, то есть разделить в столбик 103 на 50. Получится 2,06.

При вычитании меняется только знак + на знак –

Например,  \frac{1}{5} -  \frac{3}{4}.

  • Находим общий знаменатель (5•4 = 20). 
  • Умножаем числитель первой дроби на знаменатель второй дроби (1•4 = 4), а числитель второй дроби – на знаменатель первой дроби (3•5 = 15). 
  • Запишем общую дробь: \frac{1\cdot 4 + 3\cdot 5}{5\cdot 4}
  • Выполнить умножение и вычитание:  \frac{4 - 15}{20} = \frac{-11}{20}
  • Разделим в столбик -11 на 20. Получится -0,55.

№2 Умножение и деление дробей

Умножение вообще происходит элементарно: перемножаем числители двух дробей и перемножаем знаменатели двух дробей. Например,  \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{4}  = \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 4} = \frac{9}{20} . Приведем к десятичной дроби = 0,45.

Деление отличается от умножения лишь тем, что вторая дробь переворачивается (числитель и знаменатель меняются местами). Например,  \frac{2}{3} : \frac{5}{6}  =\frac{2}{3} \cdot \frac{6}{5} = \frac{2 \cdot 6}{3 \cdot 5} = \frac{12}{15} = 0,9

№3 Возведение дроби в степень

Рассмотрим такой пример:  (\frac{1}{5})^2. Дробь необходимо возвести в квадрат. Подробнее о возведении в степень можно узнать в статье “Что такое возведение в степень”. Отличие дроби от целого числа состоит только в том, что у нее есть числитель и знаменатель, и чтобы возвести ее в степень, нужно отдельно возвести в степень и числитель и знаменатель. В нашем случае дробь перепишется в виде:  \frac{1^2}{5^2}. А далее возводим числитель и знаменатель в квадрат: 12 = 1•1 = 1; 52 = 5•5 = 25. Получим,   \frac{1^2}{5^2} = \frac{1}{25}

Видите, как все просто.

№4 Сложение/вычитание и умножение/деление дроби и числа

Все Вы встречали такие примеры: 3 +  \frac{3}{2}, 8  •  \frac{1}{8} и т д. Что же делать? Как это решать? Да так же как и обычно, только в этом случае целое число нужно переписать в виде дроби. В школе учат, если число умножить на единицу, то в этом случае единица не пишется (5•1 = 5). Логично! Таким образом любое целое число можно записать как это число, умноженное на единицу (5 = 1•5). То же самое и с делением! 3 =  \frac{3}{1}, а также наоборот  \frac{3}{1} = 3.

Решим первый пример: 3 +  \frac{3}{2} =  \frac{3}{1} + \frac{3}{2}. Приводим к общему знаменателю (1•2 = 2), и умножаем числитель первой дроби на 2, а числитель второй дроби на 1.  \frac{3 \cdot 2 + 3 \cdot 1}{2} =  \frac{6+3}{2} = \frac{9}{2} = 4,5. При вычитании меняем только знак на минус.

Решим пример с умножением: 8 •  \frac{1}{8} = \frac{8}{1}\cdot\frac{1}{8} =  \frac{8 \cdot 1}{1 \cdot 8} = \frac{8}{8} = 1.

 

Вот мы и познакомились с основными действиями над дробями. Далее рассмотрим решение конкретных заданий с дробями.


Anton

Автор блога