Как решать задания с корнями? (ОГЭ)

Как Вы увидели из предыдущей статьи, корней пугаться не стоит. В этой статье давайте подробнее разберем основные задания на выражения с корнями, чтобы повысить Ваш level)

Итак, поехали… От простого к сложному.

1. Задания, в которых производятся математические операции с корнями

Например: $\sqrt{6}\cdot \sqrt{24}$ .

!Нужно запомнить простую вещь: при умножении и делении (при сложении и вычитании это не действует!) мы все записываем под одним корнем и решаем как обычно. В нашем случае получим:

$\sqrt{6 \cdot 24}$ = $\sqrt{144} =12$ .

Еще один для закрепления: $\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{8}}$

$2\sqrt{\frac{6}{8}}$ = (сократим на 2) = $2\sqrt{\frac{3}{4}}$ = (из 4 извлекается корень, он равен 2) = $\frac{2\sqrt{3}}{2}$ = $\sqrt{3}$ .

Должно быть все понятно.

2. Сравнение чисел, среди которых есть корни

Расположите в порядке убывания числа: $2\sqrt{2}, \sqrt{7}, 3\sqrt{1,5}$

Трудно решить это задание сходу, непонятно. Поэтому давайте сравним не сами эти числа, а их квадраты, то есть каждое из них возведем в квадрат.

$(2\sqrt{2})^2; (\sqrt{7})^2}}; (3\sqrt{1,5})^2$

!При возведении квадрат уничтожает корень и остается число, а в случае составных чисел (первое и третье) нужно еще возвести в квадрат число перед корнем:

$2^2 \cdot \sqrt{2}^2; \sqrt{7}^2; 3^2 \cdot \sqrt{1,5}^2$

$4 \cdot 2; 7; 9 \cdot 1,5$

$8; 7; 13,5$

Теперь расположить их в порядке убывания не составит проблем.

3. Немного об иррациональности

Укажите число, которое является иррациональным: $\sqrt{2500}, \sqrt{250}, \sqrt{0,25}$

Иррациональное число, в данном случае, – это число, из которого нельзя извлечь корень.

Начнем с первого и по порядку.

$\sqrt{2500}$ = (разложим на множители) = $\sqrt{25 \cdot 100}$ = $\sqrt{25}\cdot \sqrt{100}$ = $5 \cdot 10 = 50$ . Не подходит, так как получилось извлечь корень.

$\sqrt{250}$ = (разложим на множители) = $\sqrt{25 \cdot 10}$ = $\sqrt{25}\cdot \sqrt{10}$ = $5 \cdot \sqrt{10}$ . Из десяти корень не извлекается, поэтому подходит.

~~На всякий случай проверим последнее.~~

$\sqrt{0,25}$ = (разложим на множители) = $\sqrt{25 \cdot 0,01}$ = $\sqrt{25}\cdot \sqrt{0,01}$ = $5 \cdot 0,1 = 0,5$ . Не подходит, так как получилось извлечь корень.

Решили!

4. Квадрат суммы или разности

Найдите значение выражения: $(2 + \sqrt{11})^2$ .

Давайте будем честными, Вы наверняка решили так, что в ответе получилось 15? Ничего страшного 97% так решают,“ща двоечку в квадратик возведем, потом корень в квадрате получим 11 и сложить”. Ну, а если не купились, то Вы прямо красавчик!

Тут не так просто как кажется. Здесь, на самом деле, скрыта формула, которую проходят в седьмом классе: a²+2ab+b²(квадрат суммы) или a²-2ab+b² (квадрат разности).

Давайте подставим наши значения и посчитаем:

$(2 + \sqrt{11})^2$ = $2^2 +2 \cdot 2 \cdot \sqrt{11}+ \sqrt{11}^2$ = $4 + 4\sqrt{11} + 11$ = $15 + 4\sqrt{11}$

Так что мотайте на ус!

Это были основные типы заданий с корнями. Пока-пока.