Как найти площадь геометрических фигур?

Что такое площадь и как ее найти?

Что такое площадь?

Площадь – характеристика замкнутой геометрической фигуры (круг, квадрат, треугольник и т.д.), которая показывает ее размер. Площадь измеряется в квадратных сантиметрах, метрах и т.д. Обозначается буквой S (square).

 


Треугольник

Прямоугольник

Квадрат

Параллелограмм

Ромб

Трапеция

Круг


Как найти площадь треугольника?

1. Самая известная формула площади треугольника по стороне и высоте:

 


S =\displaystyle \bf{\frac{1}{2}} · h


где a – длина основания, h  – высота треугольника, проведенная к основанию.

Причем, основание не обязательно должно находиться снизу. Так тоже сойдет.

Если треугольник тупоугольный, то высота опускается на продолжение основания:

Если треугольник прямоугольный, то основанием и высотой являются его катеты:

 

2. Другая формула, которая является не менее полезной, но которую почему-то всегда забывают:


S =  \displaystyle \bf{\frac{1}{2}}   a · b · sinα  


где a и – две стороны треугольника,  sinα  – синус угла между этими сторонами.

Главное условие – угол берется между двумя известными сторонами.

3. Формула площади по трем сторонам (формула Герона):


S =  \displaystyle \bf{\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}}  


где ab и с – стороны треугольника, а р – полупериметр. p = (a + b + c)/2.

4. Формула площади треугольника через радиус описанной окружности:


S =  \displaystyle \bf{\frac{a \cdot b \cdot c}{4R}}  


где ab и с – стороны треугольника, а R – радиус описанной окружности.

5. Формула площади треугольника через радиус вписанной окружности:


S =p · r


где р – полупериметр треугольника, а r – радиус вписанной окружности.


Как найти площадь прямоугольника?

1. Площадь прямоугольника находится довольно-таки просто:


S = · b


Никаких подвохов.


Как найти площадь квадрата?

1. Так как квадрат является прямоугольником, у которого все стороны равны, то к нему применяется такая же формула:


S = · a = a2


 

2. Также площадь квадрата можно найти через его диагональ:


S =  \displaystyle \bf{\frac{1}{2}}   d2


 


Как найти площадь параллелограмма?

1. Площадь параллелограмма находится по формуле:


S = · h


Это связано с тем, что если от него отрезать прямоугольный треугольник справа и приставить его слева, получится прямоугольник:

 

 

2. Также площадь параллелограмма можно найти через угол между двумя сторонами:


S = ·· sinα


 


Как найти площадь ромба?

Ромб по своей сути является параллелограммом, у которого все стороны равны. Поэтому для него применяются те же формулы площади.

 

1. Площадь ромба через высоту:


S = · h


2. Площадь ромба через угол между сторонами:


S = · a sinα = a· sinα


3. Площадь ромба через диагонали:


S =  \displaystyle \bf{\frac{1}{2}}   d1 · d2



Как найти площадь трапеции?

1. Площадь трапеции находится по следующей формуле:


S =  \displaystyle \bf{\frac{a + b}{2}}   · h 



Как найти площадь круга?

1. Площадь круга можно найти через радиус:


S = π r


2. Площадь круга можно найти через диаметр:


S = πd2/4



Anton

Автор блога